置换群一定是有限群吗?

置换群不一定是有限群，无限置换群也存在。例如，所有自然数的排列构成无限群，每个排列都是双射函数，满足群的封闭性、结合律和单位元。无限置换群在数学研究中具有重要地位，展示了群论的广泛适用性。

置换群可以是有限群也可以是无限群，取决于置换的对象数量。有限集合的置换形成有限群，如3个元素的置换群有6个元素；而无限集合的置换则形成无限群，如整数排列的群包含无穷多个元素。