泛函分析是什么?

泛函分析是研究函数空间和算子的数学分支，它把函数看作点，研究这些点之间的距离和性质。比如希尔伯特空间和巴拿赫空间都是常见的研究对象，傅里叶变换和微分方程都能用泛函分析解决。这门学科结合了线性代数和拓扑学，应用在物理、工程和机器学习等领域。

泛函分析的核心工具包括不动点定理和谱理论，这些理论能证明方程解的存在性和唯一性。量子力学中的态空间描述、信号处理中的滤波设计都依赖泛函分析。它的抽象方法让复杂问题变得简单，比如用算子理论优化图像压缩算法。现代数学和工程发展离不开它的支撑。